In [1]:
%pylab inline
from nesode import *
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Дифференциальные уравнения

Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2013-14 учебный год

И. В. Щуров, П. Ф. Соломатин, И. А. Хованская, А. Петрин, Н. Солодовников

Лекция 6. Первые интегралы

Напоминание: осциллятор и уравнения в полных дифференциалах

$$\ddot x=-x$$

Соответствует следующей системе:

$$\begin{cases} \dot x=y\\ \dot y=-x\end{cases}$$

А эта система, в свою очередь, соответствует неавтономному уравнению

$$y'=-x/y$$

Путём мучительных размышлений, мы выяснили, что интегральные кривые этого уравнения (а значит и фазовые кривые исходного) являются линиями уровня функции $H(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$, в просторечьи называемыми окружностями. Иными словами, вдоль решений нашей системы функция $H(x,y)$ является постоянной.

Определение: Первым интегралом уравнения

$$\begin{equation}\tag{1} \dot x=v(x),\quad x(t)\in\mathbb R^n \end{equation}$$

называется функция $H(x)$, $H:\mathbb R ^n \to \mathbb R $, определенная на фазовом пространстве, не являющаяся тождественной константой, и такая, что для любого решения $x(t)$ уравнения (1) выполнено $H(x(t))=const$. Заметим, что константа может быть разной для разных решений, но всегда не зависит от $t$.

Пример: Пусть дана какая-то система дифференциальных уравнений и известно, что её первый интеграл $H(x,y)=xy$.

In [2]:
axes4x4(labels=('x','y'))
rcParams['figure.figsize']=(6,6)
def mcontour(xs,ys, fs, levels=None,**kw):
    """
    wrapper function for contour
    """
    x,y=meshgrid(xs,ys)
    z=fs(x,y)
    if len(levels):
        contour(x,y,z,levels)
    else:
        contour(x,y,z)
    
mcontour(linspace(-4,4),linspace(-4,4),lambda x,y: x*y,list(arange(-15,15,1))+list(arange(-1,1,0.5)))    
    

Заметим, что знание $H$ в двумерном пространстве эквивалентно знанию фазовых кривых, но в пространствах большей размерности этого уже недостаточно: одно равенство задаст поверхность размерности $(n-1)$ и не будет фазовой кривой. (Пример: равенство $x+y+z=0$ в трёхмерном пространстве задаёт плоскость.)

В двумерном фазовом пространстве знание первого интеграла позволяет решить уравнение: из условия $H(x,y)=const$ можно выразить $y$ через $x$ и подставить в одно из уравнений, получив таким образом уравнение уже с одной неизвестной, которое решается по формуле Барроу.

Комментарий 1: Первый интеграл задаёт только фазовые кривые, но не интегральные кривые. Для одного первого интеграла могут быть несколько дифференциальных уравнений, которые ему соответствуют: в частности, неясно, в какую сторону будут проставлены стрелочки. Например, у систем

$$\dot x=-y,\quad \dot y=x$$

и

$$\dot x=y, \quad \dot y=-x$$

есть один и тот же первый интеграл ($x^2/2+y^2/2$), но направления движения по фазовым кривым различно.

Контрольный вопрос. Для какой из этих двух систем движение по фазовым кривым происходит в направлении «по часовой стрелке», а для какой — против?

Комментарий 2 Первый интеграл задан неоднозначно. Пусть $H(z)$ является первым интегралом для некоторой системы. Тогда все функции:

  1. $H(z)+С$
  2. $CH(z)$
  3. $f(H(z))$, $f:\mathbb R \to \mathbb R$ взаимно однозначно

также являются первыми интегралами.

Опознание первых интегралов

Как узнать, является ли функция константой на некоторой кривой? Подставить эту кривую и посчитать производную.

Пример. Рассмотрим функцию $H(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$. Пусть $\varphi(t)=(x(t), y(t))$ — некоторая кривая. Рассмотрим функцию $h(t)=H(\varphi(t))$. Имеем:

$$\frac{dh}{dt}=x\dot x+y\dot y$$

Что-то это нам напоминает. Ну да, конечно, по теореме о производной сложной функции, для произвольной функции $H(z)$, $z=(z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb R^n$ и функции $\varphi\colon \mathbb R\to \mathbb R^n$, $\varphi(t)=(\varphi_1(t),\ldots,\varphi_n(t))$:

$$h(t)=H(\varphi(t))$$

$$\frac{dh}{dt}=\frac{\partial H}{\partial z_1} \frac{d\varphi_1}{dt}+\cdots+\frac{\partial H}{\partial z_n} \frac{d\varphi_n}{dt}$$

Предположим, что $H$ является первым интегралом, а $\varphi(t)$ — фазовая кривая. Тогда $h(t)=H(\varphi(t))=const$. Чтобы это было выполнено необходимо, чтобы $\frac{dh}{dt}=0$

$$\frac{dh}{dt}=\frac{\partial H}{\partial x_1} \dot x_1+\ldots+\frac{\partial H}{\partial x_n} \dot x_n=df(\dot \varphi)=(\nabla f,\dot \varphi)$$

Итак, это должно быть равно нулем, чтобы функция была первым интегралом.

Производная вдоль векторного поля

Рассмотрим какую-нибудь функцию $F(x)$. Посмотрим, с какой скоростью она меняется, если мы будем двигаться вдоль решений (1).

$$\left. \frac{F(x(t))}{dt}\right|_{t=0}=df|_{x_0}(\dot x(x_0))=df|_{x_0}(v(x_0))$$

Получилась новая функция от точки $x_0$. Имеем преобразование, которое из одних функций делает другие. Это преобразование называется произволной вдоль векторного поля. Оно обозначается $L_v{F}$.

Утверждение: Функция $H(x)$ является первым интегралом системы (1) тогда и только тогда, когда производная $L_v{H}=0$.

Пример 1

Система

$$\dot x=1,\quad \dot y=0$$

Ей соответствует векторное поле

$v=(1,0)$

Пусть $F(x,y)$ — некоторая функция. Тогда $$L_v F = \frac{\partial F}{\partial x}\cdot 1 + \frac{\partial F}{\partial y}\cdot 0 = \frac{\partial F}{\partial x}$$

Пример 2

$$L_{(y,-x)} (x^2+y^2)=2xy-2xy=0$$

Локальные и глобальные первые интегралы

Пример: рассмотрим систему

$$\begin{cases} \dot x = x \\ \dot y = y \end{cases}$$

Вопрос: существует ли непрерывный первый интеграл этой системы, определенный на всём пространстве $\mathbb R^2$?

Контрольный вопрос: как выглядят фазовые кривые этой системы?

Пусть существует функция $F(x,y)$, являющаяся первым интегралом. У неё есть какое-то значение в точке $(0,0)$. Допустим, не ограничивая общности, что $F(0,0)=0$. Тогда на фазовой кривой $y=2x, x>0$ функция $F(x,y)$ также нулевая (потому что предел этой фазовой кривой при $t\to -\infty$ как раз $(0,0)$). Но и все остальные фазовые кривые обладают этим свойством! Поэтому первый интеграл должен быть всюду константой. Но первый интеграл по определению не должен быть константой. (Константа, конечно, не меняется вдоль фазовых кривых любого уравнения, и не несет таким образом никакой информации об уравнении.) Значит, непрерывного глобально определенного первого интеграла в этом случае не существует.

Обычно глобальных первых интегралов не существует, а локальные есть.